تطور وتطور التصفية
March 04, 2025
نظرية الاحتمال وطريقة لتقدير عملية عشوائية أخرى مرتبطة بها بناءً على نتائج مراقبة عملية العشوائية. ينشأ مصطلح التصفية من نظرية الاتصال ، وهي تقنية لاستخراج إشارات مفيدة من الإشارات المستلمة التي تحتوي على التداخل. تعادل "الإشارة المستلمة" عملية العشوائية التي يتم ملاحظتها ، و "الإشارة المفيدة" تعادل العملية العشوائية التي يتم تقديرها. على سبيل المثال ، طائرة تتبع الرادار ، وبيانات موضع الطائرات المقاسة ، بما في ذلك خطأ القياس والتداخل العشوائي الآخر ، وكيفية استخدام هذه البيانات لتقدير الموضع والسرعة والتسارع ، وما إلى ذلك في كل لحظة قدر الإمكان ، والتنبؤ بمستقبل الطائرة. مثل هذه المشكلات وفيرة في التكنولوجيا الإلكترونية ، وعلوم الفضاء ، وهندسة التحكم ، وغيرها من قطاعات العلوم والتكنولوجيا. كان أول اعتبار في التاريخ هو تصفية Wiener ، ثم اقترح Kalman و RS Bussy تصفية Kalman في الستينيات. البحث عن مشاكل التصفية غير الخطية العامة نشطة للغاية.
يعد تصفية المفهوم الأساسي مفهومًا مهمًا في معالجة الإشارات.
التصفية الكلاسيكية
مفهوم التصفية الكلاسيكية هو مفهوم هندسي يعتمد على تحليل فورييه والتحول. وفقًا لنظرية الرياضيات العالية ، يمكن اعتبار أي إشارة تفي بظروف معينة بمثابة تراكم من خلال عدد لا حصر له من موجات الجيب. وبعبارة أخرى ، فإن الإشارة الهندسية هي تراكب خطي للموجات الجيبية المصفاة من الترددات المختلفة. تسمى موجات الجيب من الترددات المختلفة التي تشكل الإشارة مكونات التردد أو المكونات التوافقية للإشارة. تسمى الدائرة التي تسمح فقط مكونات الإشارة في نطاق تردد معين بشكل طبيعي ، مع منع جزء آخر من مكون التردد ، مرشح كلاسيكي أو دائرة مرشح.
في الواقع ، يكون لأي نظام إلكتروني عرض النطاق الترددي الخاص به (الحد الأقصى لأعلى تردد للإشارة) ، وتعكس خصائص التردد هذه الميزة الأساسية للنظام الإلكتروني. المرشح هو دائرة تطبيق هندسية مصممة وفقًا لتأثير معلمات الدائرة على عرض النطاق الترددي للدائرة.
التصفية الحديثة
يتم ترشيح الإشارة التناظرية بواسطة دائرة إلكترونية تمثيلية. المبدأ الأساسي هو استخدام تردد التردد للدائرة.
تتيح الميزة اختيار مكونات التردد في الإشارة. وفقًا لتصفية التردد ، تعتبر الإشارة إشارة تمثيلية تتشكلها موجات جيب فرط من الترددات المختلفة ، ويتحقق تصفية الإشارة عن طريق اختيار مكونات التردد المختلفة. يسمى تصفية هذا المرشح مرشح تمرير عالي عندما يُسمح للمكونات التردد الأعلى للإشارة بالمرور عبر المرشح. يسمى هذا المرشح مرشح تمرير منخفض عندما تمر مكونات التردد السفلي للإشارة المسموح بها عبر المرشح.
يُطلق على هذا المرشح مرشحًا لـ BandPass عندما يُسمح فقط للمكونات في نطاق تردد معين من الإشارة بالمرور عبر المرشح.
عادةً ما يتم وصف سلوك مرشح مثالي بواسطة خريطة مميزة للتردد السعة ، والتي تسمى أيضًا خاصية التردد السعة لمسار المرشح الكهربائي للمرشح.
المعلومات التفصيلية للمرشح ، يسمى نطاق التردد الذي لا يطلق عليه سعة الكسب صفر نطاق النجاح ، والذي يشار إليه ببساطة باسم النطاق ، ونطاق التردد الذي تسمى سعة كسب المرشح صفرًا. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى LP ، من -W1 عندما يطلق على W1 اسم النطاق من LP ، يسمى جزء التردد الآخر على نطاق التوقف. يمثل نطاق المرور مكون تردد الإشارة الذي يمكن أن يمر عبر المرشح دون التخفيف ، ويمثل النطاق التوقف مكون تردد الإشارة الذي يتم تخفيفه بواسطة المرشح. يُطلق على الربح الذي تم الحصول عليه بواسطة الإشارة في نطاق المرور كسب نطاق المارة ، ويسمى التوهين الذي تم الحصول عليه بواسطة الإشارة في نطاق التوقف توهين النطاق التوقف. في الترشيح الهندسي في الوقت الفعلي ، يتم استخدام DB عمومًا كوحدة كسب السعة للمرشح.
وفقًا للتصفية يتم تنفيذها على مدار فترة زمنية كاملة أو فقط في بعض نقاط أخذ العينات ، يمكن تقسيمها إلى تصفية زمنية مستمرة وتصفية زمنية منفصلة. يمكن اعتبار مجموعة المعلمة Time Time كأحورية شبه حقيقية [0 ، ∞) أو المحور الحقيقي (-∞ ، ∞) ؛ يمكن اعتبار that t inse integer مجموعة {0 ، 1 ، 2 ، ...} أو مجموعة من الأعداد الصحيحة {... ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، ...}. دع x = {x ، t∈T = {y ، t∈T) تكون محدودة ، أي ، حيث x هي العملية المقدرة ، لا يمكن ملاحظتها مباشرة ؛ y هي العملية المرصودة ، والتي تحتوي على بعض المعلومات حول X. باستخدام كل بيانات المراقبة حتى الوقت t ، إذا كان يمكن العثور على وظيفة للعنصر الأوسط (؟) لجعل الخطأ المربع المتوسط إلى الحد الأدنى ، يطلق عليه الترشيح الأمثل لـ XT ؛ إذا كان نطاق القيمة الدنيا محدودًا ، فسيتم تسمية الوظيفة الخطية بالترشيح الخطي الأمثل لـ XT. يمكن إثبات أن كل من التصفية الأمثل والتصفية الأمثل الخطي موجودان بشكل فريد مع احتمال واحد. بالنسبة إلى السابق ، فإن 悯 t هو التوقع الشرطي لـ XT لـ σ () (المجال σ الذي تم إنشاؤه) ، والذي يتم تسجيله على أنه الأخير. إذا تم تعيين متوسط القيمة Ext 呏 eyt 呏 0 ، فإن 悯 t هو XT الذي يتم فيه تشكيل XT. يتم تسجيل الإسقاط على المساحة الخاصة كما لو أن (x ، y) هو عملية طبيعية ثنائية الأبعاد ، فإن التصفية الأمثل متوافق مع الترشيح الأمثل الخطي.
لراحة التطبيق والرواية ، يتم تصنيف التعريفات المذكورة أعلاه في بعض الأحيان بمزيد من التفصيل. دعنا يكونوا عددًا صحيحًا حقيقيًا أو صحيحًا محددًا بواسطة المرشح ، واعتبر الحالة التي تكون فيها العملية المقدرة أو وفقًا لـ τ = 0 ، τ> 0 ، τ0 ، تصبح مشكلة التنبؤ الخطية لـ X نفسها في ظل ظروف المراقبة الخالية من الأخطاء ؛ عندما ≠ 0 و τ ≤ 0 ، فإن مشكلة التصفية لاستخراج الإشارة المفيدة x من الإشارة المستلمة y التي تزعجها الضوضاء n تصبح. من 1939 إلى 1941 ، α.η. استخدم Kolmogorov تحلل Wald للتسلسلات الثابتة (انظر العملية الثابتة) ، وأعطى النظرية العامة وعلاج التنبؤ الخطي ، ثم تم تمديده إلى العملية الثابتة للوقت المستمر. . N. Wiener ترشيح في عام 1942 وجود الكثافة الطيفية للتسلسلات الثابتة والعمليات وتلبي بعض الظروف العادية. يتم استخدام التحلل الطيفي لاشتقاق التعبير الواضح للتنبؤ الخطي الأمثل والتصفية ، أي صيغة ترشيح Wiener. تم تطبيقه في مكافحة الحرائق في الدفاع الجوي والهندسة الإلكترونية والإدارات الأخرى. في الخمسينيات من القرن الماضي ، تم تمديد النموذج أعلاه إلى عملية ثابتة مع ملاحظات فقط في فترة زمنية محدودة وعملية خاصة غير ثابتة للتصفية ، وتم تمديد نطاق التطبيق الخاص به إلى المزيد من الحقول. لا يزال أحد الأدوات القوية لمعالجة مختلف البيانات الديناميكية (مثل الأرصاد الجوية ، والهيدرولوجيا ، والاستكشاف الزلزالي ، وما إلى ذلك) والتنبؤ بالمستقبل.
يتم اشتقاق صيغة مرشح Wiener من التحلل الطيفي للعملية الثابتة ، ومن الصعب التعميم على العملية غير الإلكترونية الأكثر عمومية والحالة متعددة الأبعاد ، وبالتالي فإن نطاق التطبيق محدود. من ناحية أخرى ، عندما يتم زيادة نتيجة المراقبة بشكل مستمر ، من الصعب بسهولة الحصول على قيمة مرشح جديدة من قيمة المرشح المحسوبة وقيمة المراقبة الجديدة ، وعلى وجه الخصوص ، لا يمكن تلبية الحاجة إلى معالجة كمية كبيرة من البيانات بسرعة على جهاز كمبيوتر إلكتروني.
اقترح ترشيح Kalman بسبب تطوير أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية عالية السرعة والحاجة إلى تحديد تقنيات التصفية لمدارات الأقمار الصناعية والملاحة ، RE Kalman و RS Bussy فئة جديدة من نماذج الترشيح الخطية والأساليب في أوائل الستينيات. لتصفية Kalman. الافتراض الأساسي هو أن العملية المقدرة X هي إخراج نظام ديناميكي خطي متعدد الأبعاد من الدرجة المحدودة تحت تأثير الضوضاء العشوائية ، وأن YT المرصود هو تراكب المكون الجزئي لـ XT أو وظيفته الخطية وضوضاء القياس ، وهو أمر غير مطلوب هنا. الثبات ، ولكن قيم الضوضاء في أوقات مختلفة غير ذات صلة. بالإضافة إلى ذلك ، لا تحتاج الملاحظات إلا إلى البدء في لحظة معينة ، وليس بالضرورة فترات مراقبة طويلة بلا حدود. الأهم من ذلك ، للتكيف مع خصائص أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية ، صيغة مرشح Kalman ليست شكلًا وظيفيًا مميزًا للقيمة المقدرة كملاحظة ، ولكن خوارزمية عودية (أي خوارزمية في الوقت الفعلي). على وجه التحديد ، بالنسبة لتصفية الوقت المنفصل ، طالما يتم زيادة البعد من X بشكل مناسب ، يمكن أن يكون جدول قيمة المرشح في الوقت t بمثابة مزيج خطي من قيمة المرشح في الوقت السابق والقيمة المرصودة في الوقت الحالي. لتصفية الوقت المستمر ، يمكن إعطاء المعادلات التفاضلية العشوائية الخطية التي يجب أن تكون راضية عن YT. في المواقف التي يكون من الضروري زيادة مستمرًا لقيم الملاحظات وقيم مرشح الإخراج ، فإن هذه الخوارزمية تسرع في معالجة البيانات وتقلل من كمية البيانات المخزنة. أثبت Kalman أيضًا أنه إذا كان النظام الخطي قيد الدراسة يفي بنوع من "قابلية التحكم" و "الملاحظة" (هذا هو مفهومين مهمان اقترحته Kalman في نظرية التحكم الحديثة) ، فيجب أن يكون التصفية الأمثل "مستقرًا غير متماثل". بشكل عام ، ستختفي التأثيرات الناجمة عن الخطأ الأولي والخطأ التقريبي وغيرها من عدم الدقة تدريجياً أو تصبح مستقرة مع تمديد وقت التصفية ، ولن يتم تشكيل أي تراكم للأخطاء. هذا مهم جدا في التطبيقات العملية.
يتوفر ترشيح Kalman أيضًا في مجموعة متنوعة من الأشكال ، مثل الاسترخاء في قيود عدم الارتباط الضوئي ، وتقريب الأنظمة غير الخطية مع الأنظمة الخطية ، وما يسمى "التصفية التكيفية" ، وما إلى ذلك ، واكتساب مجموعة من التطبيقات واسعة النطاق بشكل متزايد.
تم شرحه قبل التصفية غير الخطية أن التصفية الأمثل غير الخطية يمكن أن يعزى إلى مشكلة التوقع الشرطي. بالنسبة لحالة وجود عدد محدود من الملاحظات ، يمكن حساب التوقع الشرطي من حيث المبدأ باستخدام صيغة بايزي. ولكن حتى في المواقف البسيطة نسبيًا ، فإن النتائج التي تم الحصول عليها معقدة للغاية ، وهي غير مريحة للتطبيقات العملية أو البحوث النظرية. على غرار ترشيح Kalman ، يود المرء أيضًا إعطاء نوع من الخوارزمية العودية للترشيح غير الخطي أو معادلة التفاضلية العشوائية التي تفي بها. لكن عمومًا غير موجودين ، لذلك يجب أن تكون العملية X و Y المعنية محدودة بشكل مناسب. العمل البحثي للتصفية غير الخطية نشط للغاية. إنه يتضمن العديد من الإنجازات الحديثة لنظرية العملية العشوائية ، مثل النظرية العامة للعمليات العشوائية ، 鞅 ، المعادلات التفاضلية العشوائية ، وعمليات النقاط. أحد أهم الأسئلة هو الدراسة في ظل الظروف ، هناك 鞅 M ، بحيث تحتوي M و Y على نفس المعلومات في أي وقت ؛ مثل هذا M يسمى عملية الابتكار Y. في الوقت الحاضر ، بالنسبة لفئة من ما يسمى "تصفية العمليات العادية الشرطية" ، تم إعطاء معادلة متكررة قابلة للتنفيذ لتصفية غير الخطية. في التطبيقات العملية ، غالبًا ما تستخدم طرق التقريب الخطي المختلفة لمشاكل التصفية غير الخطية.
يوفر ترشيح Shengda التصميم والتصنيع للمرشح الهيدروليكي ، ونقية مرشح الزيت ، وعنصر المرشح المعدني ، ومرشح الشمعة المعدنية ، وشاشة سلك الوتد ، وسلسلة شاشة جونسون ، ومواد التصفية ، إلخ.
